Bilangan dalam Matematika

Bilangan dalam Matematika

1. Bilangan Asli

Lambang : N (Natural) -> 1,2,3,…

2. Bilangan Bulat

Lambang : Z (Zahlen) -> …-3,-2,-1,0,1,2,3…

3. Bilangan Rasional

Lambang : Q (Quotient) -> a/b, b≠0 (Pecahan desimal yang berakhir atau berulang secara teratur)

Examples :

1/2 = 0,5 (berakhir)

2/3 = 0,66666666 (berulang secara teratur)

4. Bilangan Irasional

Tidak dapat dinyatakan dalam a/b, b≠0. Pecahan desimal yang tidak berakhir dan tidak berulang.

Examples :  √2 = 1,414213562….

5. Bilangan Real

Real = Rasional + Irasional

6. Bilangan Prima

Bilangan yang lebih dari 1 yang mempunyai 2 faktor pembagi, 1 dan bilangan itu sendiri.

Examples : 2,3,5,7,…

7. Bilangan Komposit

Bilangan yang lebih dari 1 yang mempunyai lebih dari 2 faktor pembagi.

Examples : 4,6,8…

 

8. Bilangan Imajiner
Bilangan i (satuan imajiner) dimana i adalah lambing bilangan baru yang bersifat i2 = -1
Examples : i, 4i, 5i
9.Bilangan Kompleks
Bilangan yang anggota-anggotanya (a+bi) dimana a, b ϵ R, i2 = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.
Examples :  2-3i, 8+2

 

FAKTA TENTANG NOL

1. Nol adalah bilangan genap.

Nol itu memang bukan positif dan juga bukan negatif, tapi dia genap!

(Bilangan genap adalah bilangan bulat yang dapat dibagi dengan dua dan hasilnya tetap bulat.)

See : 0/2 = 0 (Bulat :.. -1,0,1..)

 

2. Nol bukan bilangan prima.

Bilangan prima hanya berlaku untuk bilangan setelah satu.

 

3. Nol adalah bilangan.

Nol adalah bagian dari bilangan cacah untuk menunjukkan kuantitas.

 

4. Nol itu bilangan tanpa tanda.

Tanda pada bilangan hanya menunjukkan posisinya pada garis bilangan.

Akibatnya nol itu punya dua tanda, positif nol dan negatif nol.

Tapi bedanya dengan bilangan lain seperti positif satu dan negatif satu, tanda pada nol tidak memiliki makna.

Supaya lebih efektif, maka tanda tidak perlu digunakan.

(nb : Positif nol dan negatif nol hanya dipakai dalam konsep limit untuk menggambarkan arah perhitungan.)

 

5. 0^0 = apa aja boleh (Semua bilangan) 🙂

(^ = pangkat)

a^m x a^n = a^(m+n)

Misal : a= 0 dan m=0

Maka,

0^0 x 0^n = 0^(0+n)

0^0 x 0^n =  0^n

0^0 x 0 = 0

0^0 = 17/12/1 terserah 😀

See, 0^0 x 0 = 0, substitusikan 0^0 = 17

17 x 0 = 0

begitu juga dengan 12, 1 atau bilangan lainnya. 🙂

Semoga bermanfaat.

Menara Hanoi

   ASAL TEKA TEKI MENARA HANOI

Menara Hanoi merupakan salah satu diantara berbagai teka-teki dalam matematika. Teka-teki ini ditemukan ditemukan oleh  Edouard Lucas, ahli matematika Perancis di tahun 1883.

Teka-teki ini berdasarkan pada sebuah cerita legenda tentang candi Indian atau menara Benares di India yang memiliki tiga tiang dan salah satu tiangnya terdapat 64 tumpukan cakram emas. Para pendeta mendapat tugas untuk memindahkan cakram emas itu ke tiang yang lain sesuai dengan suatu aturan. Pendeta Brahma, melaksanakan tugas dari peramal di masa lalu, sesuai dengan aturan teka-teki ini. Menurut legenda ini, bila teka-teki ini diselesaikan, dunia akan kiamat. Tidak jelas benar apakah Lucas menemukan legenda ini atau terinspirasi olehnya. Bila legenda ini benar, dan pendeta itu bisa memindahkan satu cakram tiap detik, menggunakan pemindahan paling sedikit, maka akan memakan waktu 2⁶⁴−1 detik atau kurang lebih 584,582 milyar tahun.

Penggunaan alat peraga menara Hanoi dalam pembelajaran

1. Guru dapat menceritakan legenda di India tentang menara Benares sebagai pengantar di awal   Pembelajaran

2. Aturan permainan matematis menara hanoi:

Hanya satu cakram yang boleh dipindahkan dalam satu waktu. Setiap perpindahan berupa  pengambilan cakram teratas dari satu tiang dan dimasukkan ke tiang lain, boleh juga dimasukkan diatas cakram lain dalam tiang yang sama.  Tidak boleh meletakkan cakram di atas cakram lain yang lebih kecil.

3. Petunjuk kerja:

• Percobaan dapat dimulai dari 1 buah cakram, 2 buah cakram, 3 buah cakram, dan    seterusnya sampai dengan 7 cakram.

• Setiap pemindahan satu cakram dari satu tiang ke tiang yang lain diperhitungkan sebagai satu langkah perpindahan.
• Total pemindahan adalah banyaknya pemindahan minimal.

Untuk memudahkan siswa melakukan penyelidikan, siapkan lembar kerja

4. Bila diperhatikan, saat melakukan pemindahan 1 cakram, 2 cakram, dan seterusnya, seperti pada gambar berikut :

Sebenarnya kita melakukan pemindahan dan penyusunan yang sama berulang-ulang. Untuk memindahkan 2 cakram, perlu memindahkan terlebih dahulu 1 cakram kecil ke tiang singgah lalu memindahkan cakram besar ke tiang tujuan baru memindahkan cakram kecil ke tiang tujuan. Artinya, untuk memindahkan n cakram maka perlu memindahkan (n-1) cakram yang lebih kecil ke tiang singgah, lalu memindahkan 1 kali cakram terbesar ke tiang tujuan, dilanjutkan dengan memindahkan kembali n-1 cakram yang lebih kecil tadi ke tiang tujuan. Dari sini tampak bahwa untuk mendapatkan total pemindahan yang minimal maka diperlukan pemindahan (n-1) cakram dua kali dan ditambah pemindahan cakram terbesar satu langkah. Proses ini disebut dengan proses rekursif.

5. Siswa sudah mencoba menyelesaikan perpindahan cakram sesuai dengan aturan permainan . Siswa juga sudah bisa menerka berapa barisan selanjutnya.Maka sekarang saatnya kita arahkan siswa untuk mendapakan sebuah pola.

Banyak cakram (n)	Banyak perpindahan(L)	Proses perpindahan (proses rekursif)	Dugaan pola
1	L1=1	L1=1	2-1= 2 1  -1
2	L2=3	L2=2L1+1	4-1= 2 2 -1
3	L3=7	L3=2L2+1	8-1= 2 3 -1
4	L4=15	L4=2L3+1	16-1= 2 4 -1
5	L5=31	L5=2L4+1	32-1= 2 5 -1
. . .	. . .	. . .	. . .
n		Ln=2Ln-1+1	2 n -1

Menemukan Rumus Luas Permukaan Bola :)

1. Siapkan jeruk yang bentuknya mendekati bentuk bola

2. Potonglah jeruk itu menjadi 2 bagian yang sama besar (Potong tepat di bagian tengah buah)

 

 

 

3.Buatlah beberapa lingkaran dengan diameternya adalah garis tengah belahan jeruk.

 

 

 

4. Kupas kulit jeruk, kemudian dipotong kecil-kecil

 

5.Tempelkan potongan kulit itu pada lingkaran yang  sudah dibuat

6. Apa yang dapat kamu simpulkan?

Luas Permukaan Bola adalah empat kali luas lingkaran yang dapat dibentuknya.

Luas Perm. Bola = 4x ( ¼ π d2 ) = π d2

7. Latihan Soal

Seorang Pengusaha bola, yang bernama Okto Maniani, ingin membuat bola dari kulit sapi asli dengan ukuran diameter 28 cm. Berapa kulit sapi yang ia butuhkan untuk membuat satu bola?

 

8. Penyelesaian Soal

Diketahui  :  d = 28 cm

Ditanya     :  Kulit Sapi yang dibutuhkan (Luas  Permukaan Bola)

Penyelesaian  :

Luas Perm. Bola = 4x ( ¼ π d2 ) = π d2

Jadi, Kulit sapi yang dibutuhkan Okto  = π (28)2

      =  22/7 . 28. 28

        =  2464 cm2

 

9. Soal-soal

a. Panjang jari-jari dua buah bola masing-masing adalah 12 cm dan 20 cm. Tentukan perbandingan luas kedua bola itu.

 

b. Luas permukaan bola basket adalah 6644,24 cm2. Hitunglah jari-jari bola basket tersebut.

 

Some Math Jokes!

This slideshow requires JavaScript.

Kesalahan Pengoperasian Matematika

Kalau kita tidak teliti, kita akan meyakini bahwa hal ini benar adanya.
Mari kita pahami dan temukan dimana letak kesalahan dari hal ini?
^^

 

Joel Osteen’s Words III

• If you are feeling discouraged, simply ask God for help. Let Him know your thoughts, feelings and your hopes. He is always there for you!
• Remember, God wants to change your situation for the better and bless you beyond what you could ever imagine!
• When you trust God to fulfill the dreams and promises He’s given you, all the forces of darkness cannot stop God from bringing your dreams to pass.
• There is no obstacle too difficult to overcome, no goal too high to reach. God has equipped you with everything you need to accomplish what you could never do on your own. Put your trust in Him because His grace is more than enough.
• God is working behind the scenes for you, removing obstacles and creating opportunities. Believe that today and receive God’s blessings and provision.
• Even in times of hurt or disappointment, God is with you. No matter how you feel, He will never leave you wondering, confused or discouraged.
• Don’t allow another negative word toward yourself come out of your mouth. Celebrate who God made you to be. Start meditating on the fact that you are God’s masterpiece. You are one of a kind, equipped and anointed. You are God’s very own creation.
• You may not see a way for your dreams to happen, but God promises to supply all your needs (Philippians 4:19). Stay in faith and trust Him to make a way.
• If you simply believe, you can fulfill your God-given destiny. There is incredible power in what you believe. Believe God’s Word. Believe His truth.
• Sometimes God closes a door even when we’re walking in obedience, but it’s only because He has something better in store. Don’t become bitter and negative – trust Him to bring the right blessings.
• See yourself the way God sees you and start speaking His words over your life. Start saying, “I’m approved. I’m accepted. I’m talented. I’m creative. I’m God’s masterpiece.”
• No matter what mountains you are facing, you can be confident that God is bigger than any problem and able to carry you over any mountain!
• What God has started… He will finish. Hold on to your dreams and believe for Him to finish what He has begun!
• God did not create us to give up when it gets hard or to get discouraged when we face obstacles. He made us to be more than conquerors.

Joel Osteen’s Words II

• When you focus on God’s promises instead of the problems, you’ll notice your thoughts will be healthier and filled with peace.
• You can’t change what has already happened so choose to look ahead instead of behind you.
• You are never more like God than when you give, when you take time for people, or when you do something good for somebody who can never repay you.
• We all have setbacks in our yesterdays. But your past doesn’t define your future. Today is a new day. You can walk in God’s grace starting right now.
• God is for you. He said He would give you beauty for ashes, but you’ve got to let go of the ashes. Let go of the disappointments. Give Him your hurts and pain.
• There’s power in letting go. Take your hands off the wheel and say, “Okay, God. I’m going to let You drive. You know the best path for my life. You can see the detours, the dead ends. You know the shortcuts. God, I’m going to let You take me where You want me to go.” That’s a very freeing way to live.
• God wants you to live the way He intended for you to live — not barely getting by, but instead living in His abundance. As you begin to train your heart and mind this way, you’ll see God do amazing things in your life.
• Let go of the disappointments and setbacks in your life and hang on to the promises of God for your future. He has wonderful things in store for you!
• Don’t make a big deal out of things that are not a big deal. No matter how things look, know that God is still in control. Stay in peace, knowing that He will always be with you.
• It’s easy to get down on ourselves and begin living with negative and unhealthy thoughts. But it’s time to rise above and believe what God says about you. You are blessed, favored and loved.
• Refuse to let your past keep you from the future God has planned for you. Today, forgive those that have hurt you and forgive yourself so that you can walk in victory.
• It’s so important for us be around people who will stir up greatness within us. Find people with God-inspired dreams; people who will build you up and celebrate your victories with you.
• You are where God wants you to be at this very moment. Every experience is part of His divine plan. Be confident and thankful that He has a special purpose for your life.

Joel Osteen’s Words I

• Your destiny is not determined by your circumstances. Your destiny is determined by the Creator of the universe.
• When you do what you can do, God will show up and do what you can’t do. That’s His favor shining down on your life.
• God has you exactly where He wants you. Learn to be happy where you are, and God will take you where you want to be.
• God desires for you to have every blessing and every good thing that He promises to you in His Word. He wants you to experience His favor
• Instead of complaining to God about everything going wrong in your life, remind Him of the promises He’s made. It may not happen overnight but if you will just stay in faith, eventually you will see God’s promises come to pass.
• Be proud of the way God made you. You are anointed to be you!
• Believe and declare you’re going to become everything God has created you to be. You’re going to have everything God intended for you to have.
• As long as you stay in faith and keep believing, every promise God’s placed in your heart will come to pass.
• Negative thoughts may be telling you, “It will never change. It will never get better.” Don’t believe the “never” lies. With God, all things are possible. See Matt 19:26.
• God puts people in our lives on purpose so we can help them succeed and become all He has created them to be. That means we have an assignment to encourage and inspire them to go higher.
• No matter how many mistakes you’ve made, you need to know that on the inside, you have seeds of greatness from Almighty God.
• Let’s be the kind of people that do good for others whether we get paid back or not, whether they say thank you or not.

Cara Membuat Anak Halaman

Prosedurnya adalah :

1. Log in Blog Anda dan klik Pages, lalu Add New

2. Tulis yang akan di-posting

3. Isi Postingan, dan klil parent di ujung sebelah kanan, dan pilih postingan ini akan digabungkan ke halaman apa.
Disini saya mm-posting tentang Realistic Mathematics Education dan Saya akan memasukkan ini di Halaman

Education Inside.

4. Lalu Publish dan View Page.

Well Done. Semoga bermanfaat! 🙂